高中圆锥曲线二级结论整理

一、椭圆

（一）与焦点相关的结论

1.  焦点三角形面积公式

•  若椭圆方程为 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)，焦点为 F_1(-c,0)，F_2(c,0)，椭圆上一点 P(x_0,y_0)，则焦点三角形 PF_1F_2 的面积 S_{PF_1F_2}=b^2\tan\frac{\theta}{2}，其中 \theta 为 \angle F_1PF_2。

•  例如，椭圆 \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1，P 为椭圆上一点，当 \angle F_1PF_2=60° 时，S_{PF_1F_2}=4\tan30°=\frac{4\sqrt{3}}{3}。

2.  焦点弦长公式

•  设椭圆方程为 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)，过焦点 F(c,0) 的弦 AB，倾斜角为 \alpha，则弦长 |AB|=\frac{2ab^2}{a^2\sin^2\alpha+b^2\cos^2\alpha}。

•  比如，椭圆 \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1，过右焦点的弦倾斜角为 45°，则 |AB|=\frac{2×4×9}{16\sin^245°+9\cos^245°}=\frac{72}{\frac{16}{2}+\frac{9}{2}}=\frac{72}{\frac{25}{2}}=\frac{144}{25}。

（二）与离心率相关的结论

1.  离心率与焦点三角形关系

•  对于椭圆 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)，焦点三角形 PF_1F_2 中，若 |PF_1|=m，|PF_2|=n，则 e=\frac{2c}{m+n}，其中 c 为焦距。

•  以椭圆 \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 为例，焦点三角形中 |PF_1|=8，|PF_2|=12，则 e=\frac{2×3}{8+12}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}。

2.  离心率与椭圆内接矩形关系

•  椭圆 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 内接矩形的面积最大值为 2ab，此时矩形的长为 2a，宽为 2b，且离心率 e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}。

•  对于椭圆 \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1，其内接矩形面积最大值为 2×10×8=160，离心率 e=\sqrt{1-\frac{64}{100}}=\sqrt{\frac{36}{100}}=\frac{3}{5}。

（三）与准线相关的结论

1.  椭圆的第三定义

•  椭圆上任意一点 P(x_0,y_0) 到焦点 F(c,0) 的距离与到相应准线 x=\frac{a^2}{c} 的距离之比等于离心率 e，即 \frac{|PF|}{|PQ|}=e，其中 Q 为 P 到准线的垂足。

•  例如，椭圆 \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{15}=1，P(2,3)，右焦点 F(\sqrt{5},0)，右准线 x=4，则 \frac{|PF|}{|PQ|}=\frac{\sqrt{(2-\sqrt{5})^2+3^2}}{|2-4|}=\frac{\sqrt{24-4\sqrt{5}}}{2}=\sqrt{6-\sqrt{5}}，离心率 e=\sqrt{1-\frac{15}{20}}=\frac{1}{2}，满足 \frac{|PF|}{|PQ|}=e。

二、双曲线

（一）与焦点相关的结论

1.  焦点三角形面积公式

•  双曲线方程为 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)，焦点为 F_1(-c,0)，F_2(c,0)，双曲线上一点 P(x_0,y_0)，则焦点三角形 PF_1F_2 的面积 S_{PF_1F_2}=b^2\cot\frac{\theta}{2}，其中 \theta 为 \angle F_1PF_2。

•  比如，双曲线 \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1，P 为双曲线上一点，当 \angle F_1PF_2=120° 时，S_{PF_1F_2}=16\cot60°=\frac{16\sqrt{3}}{3}。

2.  焦点弦长公式

•  设双曲线方程为 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)，过焦点 F(c,0) 的弦 AB，倾斜角为 \alpha，则弦长 |AB|=\frac{2ab^2}{a^2\sin^2\alpha-b^2\cos^2\alpha}。

•  以双曲线 \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1 为例，过右焦点的弦倾斜角为 30°，则 |AB|=\frac{2×2×5}{4\sin^230°-5\cos^230°}=\frac{20}{4×\frac{1}{4}-5×\frac{3}{4}}=\frac{20}{1-\frac{15}{4}}=-\frac{80}{11}（注意双曲线弦长可能为负值，实际计算时需根据情况取绝对值）。

（二）与离心率相关的结论

1.  离心率与焦点三角形关系

•  对于双曲线 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)，焦点三角形 PF_1F_2 中，若 |PF_1|=m，|PF_2|=n，则 e=\frac{2c}{|m-n|}，其中 c 为焦距。

•  以双曲线 \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 为例，焦点三角形中 |PF_1|=10，|PF_2|=2，则 e=\frac{2×5}{|10-2|}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}。

2.  离心率与渐近线关系

•  双曲线 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) 的渐近线方程为 y=±\frac{b}{a}x，离心率 e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}。

•  对于双曲线 \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{144}=1，渐近线方程为 y=±\frac{12}{5}x，离心率

​